Алгебра, вместе с Арифметикой, есть наука о числах и чрез посредствочисел - о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких-нибудьопределенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойстваотвлеченных величин, как таковых, независимо от того, к каким конкретнымприложениям они способны. Различие между Арифметикой и А. состоит в том,что первая наука исследует свойства данных, определенных величин, междутем как А. занимается изучением общих величин, значение которых можетбыть произвольное, а следовательно А изучает только те свойства величин,которые общи всем величинам, независимо от их значений Таким образом, А.есть обобщенная Арифметика. Это подало повод Ньютону назвать свойтрактат об А. "Общею Арифметикой". Гамильтон, полагая, что подобно тому,как геометрия изучает свойства пространства, А. изучает свойствавремени, назвал А. "Наукою чистого времени" - название, которое Деморганпредлагал изменить в "Исчисление последовательности". Однако такиеопределения не выражают ни существенных свойств А., ни исторического ееразвития. А. можно определить как "науку о количественных соотношениях". В настоящее время, отчасти из педагогических соображений, отчастивследствие исторического развития этой науки, А. делят на низшую ивысшую, причем в последнее время под названием новой А. развилось учениео инвариантах преобразований алгебраических форм. История А. Происхождение самого слова А. не вполне выяснено. Помнению большинства исследователей этого вопроса, слово А. происходить отарабских слов Эль-джабер-эль-мокабела, т. е. учение о перестановках,отношениях и решениях, но некоторые авторы производить А от имениматематика Гебера, самое существование которого однако подверженосомнению. Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследованиеалгебраических вопросов, есть трактат Диофанта, жившего в середине IVвека. В этом трактате мы встречаем например правило знаков (минус наминус дает плюс), исследование степеней чисел, и решете множестванеопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теориичисел. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошлотолько 6, в которых решаются уже довольно трудные алгебраические задачи.Нам неизвестно о каких бы то ни было иных сочинениях об А. в древности,кроме утерянного сочинения знаменитой дочери Теона, Гипатии. В Европе А.снова появляется только в эпоху Возрождения, и именно от арабов. Какимобразом арабы дошли до тех истин, которые мы находим в их сочинениях,дошедших до нас в большом количестве, - неизвестно. Они могли бытьзнакомы с трактатами греков, или, как думают некоторые, получить своизнания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение А.Магоммеду-бен-Муза, жившему около середины IХ-го века в царствованниехалифа Аль-Мамуна. Во всяком случае греческие авторы были известныарабам, которые собирали древние сочинения до всем отраслям наук.Магоммед-Абульвефа перевел и комментировал сочинения Диофанта и другихпредшествовавших ему математиков (в Х веке). Но ни он, ни другиеарабские математики не внесли много нового, своего в А. Они изучали ее,но не совершенствовали. Первым сочинением, появившимся в Европе послепродолжительного пробела со времен Диофанта, считается трактатитальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим коммерческимделам на Востоке, ознакомился там с индийскими (ныне называемымиарабскими) цифрами, и с Арифметикой и А. арабов. По возвращении своем вИталию, он написал сочинение, охватывающее одновременно арифметику и А.и отчасти геометрию. Однако сочинение это не имело большого значения вистории науки, ибо осталось мало известным и было открыто вновь только всередине прошлого столетия в одной Флорентийской библиотеке. Между темсочинения арабов стали проникать в Европу и переводиться на европейскиеязыки. Известно, напр., что старейшее арабское сочинение об А.Магоммеда-бен-Музы было переведено на итальянский язык, но перевод этотне сохранился до нашего времени. Первый печатный трактат об А. есть"Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita",написанное итальянцем Лукас дэ Бурго. Первое издание его вышло в 1494 г.и второе в 1523 г. Оно указывает нам в каком состоянии находилась А. вначале XVI века в Европе. Здесь нельзя видеть больших успехов посравнению с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кромерешения отдельных частных вопросов высшей Арифметики, только уравненияпервой к второй степени решаются автором, и притом вследствие отсутствиясимволического обозначения, все задачи и способы их решения приходитсяизлагать словами, чрезвычайно пространно. Наконец нет общих решений дажеквадратного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, идля каждого случая выводится особый метод решения, так что самаясущественная черта современной А. - общность даваемых ею решений - ещесовершенно отсутствует в начале XVI века. В 1505 году Сципион Феррео впервые решил один частный случайкубического уравнения. Это решение однако не было им опубликовано, нобыло сообщено одному ученику - Флориде. Последний, находясь в 1535 годув Венеции, вызвал на состязание уже известного в то время математикаТарталья из Брешии и предложил ему несколько вопросов, для разрешениякоторых нужно было уметь решать уравнения третьей степени. Но Тартальяуже нашел раньше сам решение таких уравнений и, мало того, не толькоодного того частного случая, который был решен Феррео, но и двух другихчастных случаев. Тарталья принял вызов и сам предложил Флориде такжесвои задачи. Результатом состязания было полное поражение Флориде.Тарталья решил предложенные ему задачи в продолжение двух часов, междутем как Флориде не мог решить ни одной задачи, предложенной ему егопротивником (число предложенных с обеих сторон задач было 30). Тартальяпродолжал, подобно Феррео, скрывать свое открытие, которое оченьинтересовало Кардана, профессора математики и физики в Милане. Последнийприготовлял к печати обширное сочинение об Арифметике, Алгебре иГеометрии, с котором он хотел дать также решение уравнений 3-ей степени.Но Тарталья отказывался сообщить ему о своем способе. Только когдаКардан поклялся над Евангелием и дал честное слово дворянина, что он неоткроет способа Тартальи для решения уравнений и запишет его в виденепонятной анаграммы, Тарталья согласился, после долгих колебаний,раскрыть свою тайну любопытному математику и показал ему правила решенийкубических уравнений, изложенные в стихах, довольно туманно. ОстроумныйКардан не только понял эти правила в туманном изложении Тартальи, но инашел доказательства для них. Не взирая однако на данное им обещание, онопубликовал способ Тартальи, и способ этот известен до сих пор подименем "правила Кардана". Вскоре было открыто и решение уравнений четвертой степени. Одинитальянский математик предложил задачу, для решения которой известные дотой поры правила были недостаточны, а требовалось умение решатьбиквадратные уравнения. Большинство математиков считало эту задачунеразрешимою. Но Кардан предложил ее своему ученику Луиджи Феррари,который не только решил задачу, но и нашел способ решать уравнениячетвертой степени вообще, сводя их к уравнениям третьей степени. Всочинении Тартальи, напечатанном в 1546 году, мы также находим изложениеспособа решатть не только уравнения первой и второй степени, но икубические уравнения, причем рассказывается инцидент между автором иКарданом, описанный выше. Сочинение Бомбелли, вышедшее в 1572 г.,интересно в том отношении, что рассматривает так наз. неприводимыйслучай кубического уравнения, который приводил в смущение Кардана, немогшего решить его посредством своего правила, а также указывает насвязь этого случая с классическою задачей о трисекции угла. В Германии первое сочинение об А. принадлежит Христиану Рудольфу изИayepa, и появилось впервые в 1524 г. а затем вновь издано Стифелем илиСтифелиусом в 1571 г. Сам Стифель и Шейбль или Шейбелиус, независимо отитальянских математиков, разработали некоторые алгебраические вопросы, апервому принадлежит введение знаков +, - и для сокращения письма. В Англии первый трактат об А. принадлежит Роберту Рекорд,преподавателю математики и медицины в Кембридже. Его сочинение об А.называется "The Whetstone of Wit". Здесь впервые вводится знак равенства(=). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение об А.,принадлежащее Пелетариусу; в Голландии Стевин в 1585 г. не толькоизложил исследования, известные уже до него, но и ввел некоторыеусовершенствования в А. Громадные успехи сделала А. после сочиненийВиета, который первый рассматривал уравнения всех степеней и показалспособы для приблизительного нахождения корней каких бы то ни былоалгебраических уравнений. Он же первый означал величины, входящие вуравнения буквами, и тем придал А. ту общность, которая составляетхарактеристическую особенность алгебраических исследований новоговремени. Он же подошел весьма близко к открытию формулы бинома,найденной впоследствии Ньютоном, и, наконец, в его сочинениях можно дажевстретить разложение отношения стороны квадрата вписанного в круг к дугекруга, выраженное в виде бесконечного произведения. Фламандец АлберЖирар или Жерар, трактат которого об А. появился в 1629 г. первый ввелпонятие мнимых величин в науку. Агличанин Герриот показал, что всякоеуравнение может быть рассматриваемо как произведение некоторого числамножителей первого порядка и ввел в употребление знаки